【１】 ①lived

【２】 ②had lived

【１】 子供の頃、２年間アメリカに住んでいました。

【２】 戦争が始まった時、私はアメリカに住んで２年目でした。

完了形の基本は「ある時点までの つながり」を意識すること。

ある時点まで
→現在・過去・未来のいつの時点までか
つながり
→基準となる時点までのつながりがあれば完了形

ここを意識して問題を解いてみましょう。

順番が前後しますが【２】から見てみましょう。
【２】の内容は「戦争が勃発したときに私はアメリカに２年間住んでいた。」という内容になります。 過去の話ですから②have lived ④live を選択することはまずありません。
ここで問題となるのは①lived か③had lived のどちらにするのか。

そこで先ほど述べたポイントに照らし合わせてみると、
どこまで
→「戦争が勃発したとき」までなので過去まで
つながり
→戦争が勃発するまでの2年間というつながり
このように過去の時点までのつながりとなるので過去完了形( had p.p. )を用いるので、 答えは③となります。

次に【1】ですが、【２】の問題によく似ており同じような感覚で解いてしまう人が多いですが、皆さんはどうでしょうか？
日本語に直してみると「私は子供の時に2年間アメリカに住んでいた。」という訳になります。

先ほど述べたことを確認すると
どこまで
→過去の話なので過去まで？
つながり
→ここが最も重要ですが、今回は「子供の時に」という内容ですから【２】の問題のように、ある時点までのつながりとはならないのです。

例えば「子供の時」を0歳～15歳だとすれば、その中の2年ということになり、「～まで」ということにはなりません。
よって完了形を用いることはできず、単なる過去形である①を選ぶのが正解となります。

このように「時制」の問題では多くの受験生が問題でよく見かける単語をヒントに解答を出そうとします（今回であれば for があれば完了形だろうというように）。 そうならないようにしっかりと「時制」の本質をつかむようにしましょう。